Л.3 СИСТЕМЫ КООРДИНАТ В ГЕОДЕЗИИ
Для того, чтобы объекты земной поверхности были отображены на карте, поэтапно выполняются следующие математические процедуры: 1) во-первых, точки проецируются на поверхность референц-эллипсоида и описываются в системе геодезических координат (В,L) этого эллипсоида ; 2) эллипсоид уменьшают во много раз – это число выражает знаменатель масштаба карты; 3) поверхность эллипсоида вращения проецируется на плоскость при отсутствии искажения углов и минимума искажений длин и площадей. В итоге получают карту, по которой можно определить координаты в определенной системе координат. При изучении учебной карты в ходе лабораторной работы студенты учатся определять координаты точек в двух основных системах координат, обозначенных на карте, - географической и плоской прямоугольной . Однако, надо иметь представление не только об этих системах координат, но и о других, применяемых в геодезии.
Для однозначного определения местоположения точки на Земле необходимо определиться с исходными плоскостями, относительно которых устанавливают значения углов и (или ) расстояний. Угловые либо линейные величины, либо те и другие однозначно могут определить положение точки на земной поверхности. За основополагающие плоскости приняты: плоскость экватора – плоскость, проходящая через середину оси вращения Земли и перпендикулярно к ней; плоскость нулевого меридиана – плоскость, проходящая через ось вращения Земли и главный зал астрономической обсерватории в пригороде Лондона – Гринвиче. 1. Астрономическая система координат в геодезии применяется при научных исследованиях и для определения астрономических координат (φА, λА) так называемых пунктов Лапласа. Эти пункты включены в астрономо-геодезическую сеть, на базе которой на местности построены государственные геодезические сети, - пункты ГГС. Эти пункты необходимы для привязки снимаемой географической ситуации к поверхности эллипсоида вращения и для геодезического контроля топографических съемок. Помимо астрономических широты и долготы, в этой системе используется также понятие ортометрической высоты Нg – высоты точки над поверхностью геоида по отвесной линии (линии силы тяжести): Нg Н
геоида пов-ть эллипсоида пов-ть
2. Геодезическая система координат применяется при геодезической съемке местности для создания геодезических сетей, без которых невозможны съемки. Геодезические координаты – геодезическая широта В и геодезическая долгота L . По сути эти координаты не отличаются от географических координат, обозначаемых φ и λ и снимаемых с карты или глобуса. Можно сказать, что геодезические координаты – это географические координаты, определяемые в ходе инструментальной съемки на местности. Третья координата – геодезическая высота Н – расстояние по нормали от данной точки до поверхности эллипсоида.
Астрономическая и геодезическая системы координат связаны между собой через уклонения отвесных линий и пересчисляются друг в друга через формулы сфероидической тригонометрии. Обобщенная система координат, объединяющая астрономическую и геодезическую системы и применяемая в работе с картами, получила название системы географических координат.
3. Система географических координат
Обозначим на эллипсоиде вращения эту систему координат. Все построения в полной мере относятся и к геодезической системе координат. Определения основных линий точек земной поверхности: Гринвич.меридиан (нулевой)
Географические полюсы – точки N на поверхности Земли , через которые проходит ось ее вращения.
NS – ось вращения эллипсоида. φ Конец оси вращения, направленный на Полярную звезду, называют северным. экватор
Экватор – линия пересечения с земной λ поверхностью плоскости, перпендикулярной к оси вращения в середине этой оси. S
Параллель – линия пересечения земной поверхности плоскостью, проходящей через данную точку параллельно плоскости экватора. Меридиан - линия пересечения земной поверхности плоскостью , проходящей через ось вращения и данную точку. Меридиан – от латинского «meridianus» , что означает средний, полуденный . Термин введен Гиппархом в III веке до н.э. В древности меридиан определялся по направлению полуденной линии от точки. Полуденная линия – линия направления самой короткой тени от наблюдаемого шеста в интервале 12-13 часов в зависимости от местности. Вопрос – сколько всего меридианов и параллелей? Параллель и меридиан – главные географические линии, определяющие положение точки на сфере. Положение параллели определяет широта, а положение меридиана - долгота. Вместе они образуют геогафические координаты, которые определяли астрономическими методами . Например, с помощью древнего угломерного инструмента квадранта по величине зенитного расстояния , то есть по углу между направлением на Полярную звезду и отвесной линией прибора оценивалась широта.
Земля не имеет правильной формы эллипсоида, поэтому
Z отв. все отвесные линии сходятся не в геом.центре эллипсоида
линия а в центре тяжести масс , не лежащим на оси вращения.
Отвесная линия – линия , перпендикулярная к поверхности геоида. Географическая широта - это угол φ , образованный отвесной линией в данной точке земной поверхности и плоскостью экватора. φ=0˚-90˚. Геодезическая широта образуется нормалью к поверхности эллипсоида. Широты различают северные и южные – относительно экватора. Географическая долгота – это двугранный угол λ, образованный плоскостью начального (нулевого) меридиана и плоскостью меридиана , проходящего через данную точку. λ = 0˚-180˚. Долготы различают западные и восточные относительно нулевого (Гринвичского) меридиана. С древних времен долготу определяли по разности местного времени на произвольно выбранном начальном меридиане и в данной точке. Было ясно уже тогда, в связи с вращением Земли, что за 1 час Земля поворачивается на 15˚, а за 1 минуту – на 15' угловых минут. Следовательно, если разница во времени , например, составляет ровно 3 часа относительно начального меридиана, то долгота равна 15˚х 3час = 45˚. Очевидно, что точность определения долгот напрямую зависит от точности определения времени.
Вопрос определения долгот достаточно высокой точности довольно продолжительное время не был решен. Долготы определялись приблизительно, и это приводило к проблемам, прежде всего, при развитии мореплавания . Можно сказать, что вопрос точного расчета долгот был решен только к середине 18 века ( а точнее в 1759году), когда английский механик Джон Харрисон изобрел хронометр. В разных странах по-разному выбирали нулевые меридианы, и это затрудняло стыковку карт. И только с 1884 года договорились за начальный меридиан был принят меридиан Гринвичской обсерватории в г.Лондоне.
Система географических координат – великое достижение цивилизации. Главное достоинство ее – универсальность, то есть то, что она может быть распространена на всю поверхность земного эллипсоида, как единая координатная система. Она нашла широкое применение в навигации и в другой деятельности человека. Однако, применение системы географических координат вызвало некоторые трудности и неудобства в инженерной практике и при обработке результатов полевых измерений. В частности, трудоемкость вычисления геодезических координат связана с тем, что расстояния на местности измеряются в линейной мере ( в метрах, сантиметрах), а взаимное положение точек – в угловой мере – в градусах, минутах, секундах. Возникла необходимость в использовании на картах и другой системы координат. 4. Зональная система плоских прямоугольных координат
В данной системе координат решение геодезических задач выполняется по простым формулам аналитической геометрии, и положение точки определяется в линейной мере, не в угловой, что значительно упрощает расчеты. Применить такую систему в координатах Х и Y можно только в определенной картографической проекции, то есть после того, как решена задача перенесения элементов поверхности эллипсоида на плоскость. В общем виде должны быть решены определенные функциональные зависимости типа Х = f1 (B, L) , Y = f2 (B, L) . Разработано много разных картографических проекций для перенесения изображения на плоскость ( азимутальная нормальная, косая, поперечная, коническая, прямая цилиндрическая, поперечно-цилиндрическая и другие). Но при любой проекции поверхность эллипсоида перенести на плоскость без искажений невозможно. В одних проекциях искажаются углы и линии, но сохраняют подобие площади, в других – наоборот. Любая проекция – условное, то есть искаженное изображение земной поверхности на плоскости, хотя и связанное с координатами точек математически. Важно, чтобы неизбежные искажения были меньше погрешности измерений на карте.
В 1928 году в нашей стране была принята единая проекция топографических карт Гаусса – Крюгера, названная по именам разработавших ее ученых. Знаменитый математик и астроном Ф.Гаусс решил задачу конформного отображения эллипсоида на плоскости при условии малых искажений в первой половине 19 века. Конформная - это равноугольная проекция (углы переносятся без искажений). Л. Крюгер, профессор Потсдамского геодезического института, в начале20 века адаптировал формулы Гаусса, то есть нашел им применение в крупномасштабной картографии. Название проекции: Поперечно-цилиндрическая равноугольная проекция топографических карт Гаусса-Крюгера. Эта проекция дает малые искажения по линиям и равенство углов, что очень важно, поскольку обеспечивает подобие фигур. Представим, что условно земной шар в цилиндр так, чтобы оси цилиндра и вращения Земли были перпендикулярны, а один из меридианов касался внутренней поверхности цилиндра. В этом случае при проектировании точек с земного шара на поверхность цилиндра угловых искажений не будет, а искажения в расстояниях будут увеличиваться по мере удаления по параллели от меридиана касания. Доказано, что эти искажения будут исчезающее малы, если удаление от меридиана касания не будут превышать 3˚ по долготе. Если долгота меридиана касания λ = 3˚, крайние меридианы образуют начальную зону №1. Проектирование выполняется по 6˚ - ным зонам в момент касания срединного (осевого) меридиана поверхности цилиндра.
N
60 зон
6˚ 0˚ 6˚ 12˚ 18˚ 24˚ 30˚ экватор‘
S
Развернув поверхность цилиндра по образующей в виде плоскости, получают изображение зон, соприкасающихся одна с другой на экватор. Территория земного эллипсоида состоит из 60 зон, каждая со своим номером от нулевого меридиана с запада на восток. На территорию России приходится 29 шестиградусных зон ( N=4 – 32). Номер зоны и долгота осевого меридиана связаны формулой: λо = 6˚*Nз - 3˚ В проекции все меридианы, кроме осевого, имеют вид кривых линий и все параллели, кроме экватора, также кривые. В кажлй зоне система координат строится самостоятельно, но они идентичны. Во всех зонах за ось абсцисс Х принимается осевой меридиан, за ось ординат Y – отрезок экватора. Начало координат – на их пересечении.
Х' Х осевой меридиан
условный
осевой
0 меридиан 6 9 12˚ Y
500 км
В геодезии оси координат повернуты на 90˚ и зеркально отображены на 180˚. Это сделано для того, чтобы формулы тригонометрии и аналитической геометрии были полностью и без изменений применимы в геодезии. Дело в том, что в геодезических приборах углы отсчитываются по часовой стрелке , а не против, как в тригонометрии. Четверти координат также пронумерованы по часовой стрелке. Чтобы не обрабатывать данные с отрицательными координатами по оси Y и тем самым упростить вычисления, перешли к так называемым преобразованным координатам. Для этого начало координат в каждой зоне теоретически отнесено на 500 км к западу от осевого меридиана. В этом случае все ординаты положительны, поскольку самая удаленная точка от осевого меридиана расположена на расстоянии 3˚ дуги экватора, а это примерно составляет 333 км. Таким образом , если значение преобразованной ординаты менее 500 км, то она лежит западнее осевого меридиана, а если >500 км, то – восточнее. Действительная ордината определяется вычитанием 500 км из преобразованной снятой с карты ординаты. Например, Х = 6 068 700 м = 6068,7 км - расстояние от экватора;Y = 4 200 000м . Здесь 4 – номер зоны, 200 км – удаление от условного осевого меридиана данной зоны. Действительная ордината Yд = - 300 000м. В такой зональной системе искажения , хотя и незначительные, но есть, и чем дальше от центра к ее краям, тем больше, но они не превышают графической погрешности составления карт даже в масштабе 1 : 10 000. Для карт крупных масштабов М 1:5 000 и 1:2 000 применяется проекция для 3˚-градусных зон, что уменьшает искажения на края в 4 раза.
5. Система пространственных прямоугольных координат Z
нулевой Эта система раньше применялась
меридиан А(х,у,z) в научных и военных целях, связан-
ных с астрономией, космосом и т.п.
X 90˚ для определения положения внеземных Y объектов – ракет, искусств.спутников З.
В наше время она получила использование в связи с применением спутниковых навигационных систем (СНС) в геологии, географии, в инженерной геодезии и во многих других областях деятельности. В этом случае можно говорить о «трехмерной» геодезии, в которой геодезические измерения обрабатываются без проектирования точек на уровенную поверхность Земли. Координатами точки являются Х, Y,Z. Начало координат – в центре земного эллипсоида, ось Z проходит вдоль полярной оси, оси Х и Y – в плоскости экватора. При этом ось Х - в плоскости начального меридиана, а ось Y - перпендикулярно к ней. В России с 2002 года повсеместно используется референцная система координат СК-95 с геодезическими параметрами Земли , полученными Ф.Н.Красовским (1942г) с начальным пунктом в Пулково (г.Санкт-Петербург), где поверхность геоида и референц-эллипсоида совпадают.
Эта система параллельна по оси Z общеземной геоцентрической системе координат СК-90 (ПЗ-90), но сдвинута в плоскости ХY на 156 м.
6. Местная (условная ) система плоских прямоугольных координат
В этой системе направления осей Х и Y выбираются произвольно. Иногда условная система координат применяется при топографической съемке небольших участков под строительство ( с площадью до 1км²). Построенный по результатам такой съемки при необходимости «привязывают» к государственной зональной системе координат Гаусса-Крюгера путем дополнительной съемки через опорные пункты ГГС (государственной геодезической сети). Применяя местную систему координат, как правило, ось Х совмещают с направлением на север местного магнитного или географического меридиана. Эта ось может быть направлена как угодно и иногда е располагают вдоль оси протяженного строящегося объекта ( например , дороги). При применении местной системы координат в южной части построенного плана помещают информацию о том, что план построен в местной (условной) системе координат , и показывают направление магнитной стрелки С-Ю. Р 7. Полярная система координат А Положение точки на плоскости может быть однозначно определено не только двумя θ линейными или двумя угловыми величинами, r-вектор но и их комбинацией (углом и длиной отрезка) . 0 Полярную систему составляют полюс 0 и полярная ось Р, а координатами являются полярный угол θ и радиус-вектор (расстояние до точки) r . Направление полярной оси – произвольно, но чаще всего выбирается по меридиану на север или вдоль оси сооружения. Применяются полярные координаты при съемке ситуации в ходе тахеометрической съемки, теодолитной съемки, глазомерной или буссольной. СИСТЕМЫ ВЫСОТ в России: 1) Балтийская система высот с нулем в Кронштадте (г.С-Петербург)-общегосударственная система абсолютных высот (отметок) относительно уровня Мирового Океана. 2) Местная (частная, условная) система высот относительно произвольно выбранной уровенной поверхности отсчета .
Разграфка и номенклатура топографических карт
Топографические карты являются многочисленными листами , каждый из которых получен в результате разграфки и имеет свое имя (обозначение). Разграфка – деление карт по определенной системе на отдельные листы в границах, очерченных меридианами и параллелями. При этом обеспечивается удобный размер листов для настольного пользования и минимум искажений на краях карты. Номенклатура карты - обозначение (имя) отдельной карты в системе разграфки, принятой в стране. Номенклатура входит в систему обозначений, единую для масштабного ряда карт, и связана она с системой деления земного эллипсоида на шестиградусные зоны. В основе разграфки карт всех масштабов лежит карта базового масштаба 1: 1 000 000, имеющая размер рамок по долготе 6˚ и по широте 4˚. Разграфка связана с географической системой координат, поскольку рамками листа карты являются параллели и меридианы. При этом земной эллипсоид делится параллелями через 4˚ и меридианами через 6˚ соответственно на пояса (ряды) и колонны. Пояса обозначены латинскими прописными буквами от А до Z , а колонны – пронумерованы арабскими цифрами от 1 до 60 с запада на восток от меридиана с долготой 180˚. Счет рядов (поясов) ведется от экватора к северному и южному полюсам. Таким делением получают листы карты масштаба 1 : 1 000 000, которая является основой для дальнейшей разграфки. Например, г.Москва расположена на листе карты N – 37 , а г.С-Петербург – на листе О-36. Нумерация колонн в системе разграфки сдвинута относительно нумерации зон в системе координат Гаусса – Крюгера на число 30. Колонна 31 расположена между меридианами с долготами 0˚ и 6˚. Для определения номера зоны в зональной системе координат нужно вычесть из номера зоны число 30: Nз = Nк – 30. Например, карт… Продолжение »