Лекция 5

ПОГРЕШНОСТИ И КРИТЕРИИ ОЦЕНКИ ТОЧНОСТИИЗМЕРЕНИЙ

Суть геодезических измерений сводится к тому, что определяется расположение  определенных точек земной поверхности или инженерных сооружений относительно друг друга. Геодезические измерения делятся на линейные,   угловые   и   высотные в зависимости от того, что является целью измерения. Иногда может определяться   время,  температура,   влажность   и давление воздуха.                                                                   Линейные измерения  -  определение расстояний между точками. При этом применяют стальные мерные ленты, рулетки, специальные проволоки и разного рода дальномеры  (оптические дальномеры, светодальномеры,  радиодальномеры, дальномерные насадки).                                             Угловые измерения  -  определение горизонтальных и вертикальных углов  с помощью угломерных приборов  ( теодолитов, электронных тахеометров, буссолей, эклиметров). Буссоли и эклиметры применяются для приблизительного определения  соответственно горизонтальных и вертикальных углов.                                                                                                       Высотные измерения (нивелирование) – определение   превышений  -  с помощью нивелиров, теодолитов, тахеометров, барометров и других приборов.                                                                                                              Как бы тщательно не выполнялось любое измерение, как бы не были совершенны инструменты, всякое измерение неизбежно сопровождается погрешностью. Действительно, если многократно измерять одну и ту же величину, то результаты почти всегда будут отличаться  один от другого. Это значит, что результаты измерений содержат погрешности.   Каждое измерение имеет так называемую истинную погрешность измерения:

                                          Δi =  li  -  X               ,

где li  -  результат измерения,  Х  -  истинное значение  измеряемой величины.

         Основные причины погрешностей  :                                                      - несовершенство человеческого зрения, его ограниченные возможности;    -   неточность измерительных приборов;                                                    -  недостатки освещения, неровности земной поверхности;                             -  изменчивость условий внешних условий  -  температуры, влажности, давления, направления ветра, рефракции  и так далее.                                     Точность измерений можно увеличить в общем двумя способами :  во-первых, применять более точные, более совершенные приборы, а во-вторых – измерять одну и туже величину несколько раз для того, чтобы исключить грубые и уменьшить систематические и случайные.

Общая  классификация  погрешностей

1.  Грубые погрешности  -  совершенно недопустимы при измерениях и связаны, главным образом,  с невнимательностью исполнителя работ, а также с неисправностью прибора, его неустойчивостью ( например, под действием ветра). Грубые промахи  -  например, при измерении расстояний лентой вместо отсчета цифры  9 взят отсчет цифры 6,  просчитались на целую ленту. При измерении угла навели зрительную трубу не на ту точку, неправильно взяли отсчет. Не приведение пузырька уровня на середину  и т.д. Сюда можно отнести и арифметические ошибки при вычислениях. Разумеется, квалифицированный специалист грубых ошибок не допускает.  Грубая погрешность легко выявляется повторными измерениями, либо измерением избыточных величин.  Например, в треугольнике обязательно измеряют все три угла, хотя третий можно было бы найти , как дополнение до 180˚  , то есть вычислить.
2. Систематические погрешности   -  характеризуются постоянным значением, либо изменяются по некоторому закону при измерениях одной и той же величины.       Источником таких погрешностей могут служить  конструктивные особенности или неисправности прибора,  личностные особенности наблюдателя, постоянная ошибка наблюдателя (все время неправильно снимает отсчет), неточно изготовленная лента или рулетка, несовершенство метода измерения  и  другие источники.

Если закон действия погрешности известен, то ее нужно подсчитать и исключить из результатов измерений. Если же подсчитать ее нельзя, то нужно правильно организовать измерения – так, чтобы систематическая погрешность была исключена, или почти исключена.                                                  К систематическим, например, относят погрешности центрирования теодолита, наличие коллимационной погрешности, эксцентриситета алидады,   влияние кривизны Земли и рефракции. Такие инструментальные погрешности, как коллимационная ошибка, возникающая из-за неперпендикулярности визирной оси и оси вращения трубы, или эксцентриситет алидады, означающий несовпадение центров алидады и лимба, исключаются применением способа приемов при измерении углов, когда отсчеты снимаются на противоположных участках лимба при двух положениях  ВК – слева и справа от наблюдателя.  Систематическая погрешность при измерении длины линий может исключаться, если ввести соответствующие поправки:   за компарирование и температуру.  При измерении превышений можно ввести поправки за кривизну Земли и рефракцию,   а геометрическое нивелирование выполнять «из середины». 

Такие ошибки можно выявить и внести соответствующие поправки в результаты, либо применить более совершенный метод измерения.                          Однако, полностью исключить все систематические погрешности невозможно и их оставшуюся часть относят к случайным.

3. Случайные погрешности      исключить невозможно,     они появляются случайно и зависят от множества факторов, величина и знак их неизвестны. Они обусловлены меняющимися условиями измерений, особенностями уст-ва приборов, личностными особенностями наблюдателя.  

      При наличии многократных измерений образуется множество случайных погрешностей, которое подчиняется статистическим закономерностям. В геодезии  основным инструментом математической обработки является теория погрешностей,  которая является частью теории вероятностей и математической статистики. Она  служит для оценки точности любых измерений, не только геодезических. Именно поэтому эти математические дисциплины преподаются практически везде , где изучается высшая математика.  Некоторые выводы из теории погрешностей применяются в геодезии.

В процессе измерений взаимодействуют наблюдатель, средство измерения, метод измерения, объект измерения и внешняя среда. И каждая из этих составляющих несет в себе неизбежную долю погрешности, которая влияет на точность конечного результата измерения. Что же следует понимать под точностью измерений?

Под точностью понимают качество измерений, которое определяет близость результатов измерений к точному значению измеряемой физической величины.                                                                                                    Если точное значение величины нельзя определить теоретически, то оно неизвестно. В геодезии, как правило, за точное значение величины принимается значение, найденное эмпирически ( экспериментально), – как среднее арифметическое из ряда измерений одной и той же величины.

КРИТЕРИИ   ОЦЕНКИ   ТОЧНОСТИ   ИЗМЕРЕНИЙ

      1.Средняя погрешность  θ - вычисляется как среднее арифметическое из абсолютных значений  погрешностей , то есть                                

                        θ  =                                               

Эта величина не является надежным критерием особенно при коротком ряде наблюдений. Это связано с тем, что средняя погрешность не реагирует на наличие в ряду измерений крупных  погрешностей. Например, для двух коротких рядов средние погрешности могут быть равны:   

            1 ряд       3 , 2, 4 ,2,  1,  0,  4,  3,  2,  3

             2 ряд       0, 1, 7 , 2 , 1 , 1 , 8 , 0,  3 , 1

Средние погрешности этих рядов одинаковы     θ1=  θ2 =  24/ 10  = 2,4.                  Однако, очевидно, что измерения второго ряда имеют меньшую точность, чем первого. Поэтому стали искать другие критерии.                         

         2. Вероятная погрешность   r  .    Это такое значение случайной погрешности в данном ряду измерений, по отношению к которому одинаково возможны погрешности как больше этого значения по модулю, так и меньше. Если погрешности расположить в порядке возрастания ,или убывания то вероятная погрешность будет находиться в середине ряда.   Таким образом  можно приблизительно определить величину  r  только в том случае, если ряд измерений будет достаточно большим. В теории вероятностей доказано, что вероятная погрешность связана со средней квадратической погрешностью  m  соотношением:     r  =  2 * m / 3  =  0.67 * m  .

         3. Средняя квадратическая погрешность   m   -  это такая погрешность, квадрат которой равен среднему арифметическому из суммы квадратов истинных случайных погрешностей: 

                m²   =         или     m    =      -                                     Эта формула Гаусса надежнее характеризует точность измерений,  хорошо отражает степень отклонения от среднего значения ряда, то есть  хорошо характеризует разброс значений относительно среднего, дисперсию ряда.

Если сравнить два вышеприведенных ряда, то :

                          m1  =  =         и       m2   =                      

Отсюда видно, что второй ряд менее точен, чем первый.                                    Доказано, что для геодезических измерений можно ограничиться числом измерений   n  = >  8 .   При этом величина   m   будет удовлетворять требуемой точности.

Однако, предложенная Гауссом формула   для оценки  точности  предусматривает использование случайных истинных погрешностей, тогда как на практике чаще нам не известно истинное значение ,которое входит в формулу  Δi =  li  -  X  .  В качестве истинного значения  принимается арифметическая средина    хо   , и  в расчете используется так называемая вероятнейшая погрешность  δi  = li - хo . И в этом случае должна быть использована иная формула  -   формула Бесселя :       m =     

4.  Предельная погрешность   связана с величиной    m  .   Из теории ошибок следует, что случайная погрешность может  превышать по модулю удвоенную среднюю квадратическую ошибку  только  в  5  случаях  из  100    и  утроенную    в  3  случаях  из  1000.  Следовательно,  почти невероятно, чтобы случайная погрешность измерения превысила утроенную величину  m . Поэтому эту величину и считают предельной, то есть:   Δпр = 3 * m .        Для ограниченного числа измерений и в том случае, когда требования к точности становятся более жесткими принимают  Δпр = +- 2 * m.

Все рассмотренные погрешности   - истинные, средние, средние квадратические, вероятные, и предельные  являются абсолютными погрешностями  и имеют  размерность измеренных величин. Каждая из них находит применение в практике.  В разных странах предпочтение отдается какой-то одной.  В  США  - чаще используют вероятную,  в России  -  среднюю квадратическую. Для характеристики точности измерений какой-либо величины А к ней справа приписывают ее абсолютную ошибку со знаком  + - :      А + - θ,      А + - r     ,    А +-  m     ,   А +-  Δпр .  Например,  D = 525,5  + - 0,25.  Такая запись называется точечной оценкой качества измерений.     

Интервальная оценка записывается в виде .    Например, если результат измерения  А = 30˚15'  и  m =0,5' , то с доверительной вероятностью  Р=0,997 (99,7%) результат измерения лежит в доверительном интервале     30˚13,5'   <=  A <= 30˚16,5'   .

Однако, все абсолютные погрешности иногда оказываются недостаточными (иначе говоря, слабыми) при оценке точности. Например, длина некоторой линии измерена с абсолютной погрешностью   m = +- 7 см. Хорошо или плохо выполнено измерение? На этот вопрос можно ответить только путем сопоставления со значением измеренной величины. Для линии в 300 м эта погрешность невелика, а для линии в 5 м она уже недопустима.  Необходимо соотнести абсолютную  погрешность с измеренным значением.

5. Относительная  погрешность  -  отношение какой-либо из абсолютных погрешностей к принятому результату измерения.  Выражается  эта погрешность в виде простой дроби с единицей в числителе:

 fотн =      ;      ;    

            В геодезической практике почти все измерения оцениваются относительной погрешностью, кроме угловых измерений.   Величина угла не влияет на точность его измерения.

Пример.   Средний результат многократных  измерений   lo  =  100,1 м. Нужно сравнить по точности два результата измерения  l1  = 100,15 и           l2 = 100,08м.    Абсолютные погрешности, как отклонения от среднего:                         δ1= 100.15 – 100.1=0.05           δ2= 100.08 – 100.1= - 0.02   (м)               Относительные погрешности:

                  fотн = 1/(100,1/0.05) =  1/2000        fотн = 1/(100,1/0.02) =  1/5000

Второй результат получен с большей точностью.

Соответствующие инструкции регламентируют допустимые относительные погрешности. Например, при измерении расстояний 20-метровой стальной лентой:

 -  для благоприятных условий измерений  -     1 /  2000;

-   для неблагоприятных условий  (высокая растительность, много неровностей или камней)                                                                -     1 / 1000.

Выполнив конкретные измерения, вычисляют фактические относительные погрешности и сравнивают их с допустимыми.

            УГЛОВЫЕ ИЗМЕРЕНИЯ

1. 1.     Принцип измерения углов на местности

Угловые измерения производят для определения взаимного положения точек на местности. Горизонтальные и вертикальные углы необходимо измерять при создании планово-высотного обоснования топографических съемок, для привязки к пунктам государственной геодезической сети, для прокладки теодолитных ходов, для выполнения тахеометрических съемок и для решения многих инженерных задач.

Горизонтальный угол  - двугранный угол, ребро которого образовано отвесной линией, проходящей через данную точку.   Он определяется как угол между горизонтальными проекциями двух направлений  из вершины угла. Представим горизонтальную плоскость, проходящую через вершину угла и две плоскости, проходящие через заданные направления, образующие двугранный угол. При измерении угла  между  направлениями  АВ и АС из данной точки А измеряется не угол  β' , а угол между проекциями этих направлений на горизонтальную плоскость   A B'    и    A C' ,  который  и является  горизонтальным углом  β.   

                                          Схема измерения углов на местности

                                                                                              В

                                                        b

            νb            ГК    а                  c                                    νb 

                                b'                                 

                                     bo 

            ВК                                                     β'                          B'            горизонтальная

                                          А                                        С                     плоскость

                                                              β                 

νc                    

                                                                                 C'

       Роль горизонтальной плоскости в угломерном инструменте (теодолите) выполняет стеклянный круг, на котором нанесена круговая шкала с градусными делениями и который располагают над вершиной измеряемого угла. Этот круг называется лимбом.  При измерении лимб должен быть неподвижен и горизонтален . Центр лимба должен находиться  точно над вершиной измеряемого угла. Чтобы отметить на лимбе отсчет (снять отсчет) по проекциям ab    и  ac  над неподвижным лимбом  вместе со зрительной трубой вращается при наведении на цели  алидада.  На алидаде  расположено отсчетное устройство, с помощью которого с лимба снимаются отсчеты в отсчетном микроскопе в градусах, минутах и секундах.  Разность отсчетов по лимбу и дает величину измеряемого горизонтального угла       β   =    с  -  b.

         Вертикальный угол  в общем случае -  угол в вертикальной плоскости между двумя направлениями. Если одно из направлений лежит в горизонтальной плоскости, то такой угол называют углом наклона ν.  Можно сказать также, что угол наклона - это угол между горизонтальной линией в вертикальной плоскости и визирным лучом, направленным на точку.  На схеме показаны два угла наклона   νВ  и  νc .

В современных электронных тахеометрах измеряется иногда не угол наклона, как вертикальный угол от горизонтальной плоскости, а вертикальный угол от отвесной линии, который называется зенитным расстоянием  Z. 

Зенитное расстояние    Z    -                                 Зенит

-  вертикальный угол между отвесной линией                                                визирная

 и заданным направлением.                                                Z                                цель C

                                                                                                                     + νс        

ν     =    90 ˚ -  Z .                                                                с           горизонтальная плоскость 

Z   =   90˚  -   ν                                                        co               - νВ

                                                           Отвесная линия            ВК                                             В

Для измерения углов наклона в угломерных инструментах предусмотрен  вертикальный оцифрованный круг  - лимб, наглухо соединенный со зрительной трубой, и отсчетное устройство – алидада ,  которая неподвижна. Угол наклона вычисляется, как и горизонтальный угол , по разности отсчетов по двум направлениям, но отсчетов в вертикальной плоскости:  ν= с – со.  Отсчет со называется  «место нуля вертикального круга».