Лекция  16        

ПОНЯТИЕ О ЦИФРОВЫХ И МАТЕМАТИЧЕСКИХ

МОДЕЛЯХ МЕСТНОСТИ

         Классическая форма хранения информации о топографии местности  - топографические планы, полученные в результате топографической  съемки ( тахеометрическая съемка, нивелирование пов - ти и т.д.). 

         В связи с широким применением ЭВМ появилась возможность автоматизировать некоторые виды работ в процессе изысканий и проектирования. Появились новые методики обработки данных на компьютерах,  и  топографический план стало возможным вычерчивать на графопостроителе. Автоматизация обработки данных предполагает и применение новых форм хранения информации. В частности, в виде цифровой карты,   которая создается путем цифрования картографических материалов, то есть преобразования графических документов в форму цифровых записей. Цифроваться могут также данные полевых съемок  (например, по нивелированию поверхности) и  данные аэрокосмических съемок после их обработки. При этом данные о местности представляются в ЭВМ чаще всего совокупностью  координат X,Y,H  некоторого упорядоченного множества точек земной поверхности.

         В свою очередь, цифровые карты могут служить основой для изготовления бумажных и электронных тематических карт.

     Основой цифровой карты является цифровая модель местности (ЦММ).

         Цифровая модель местности (ЦММ) – упорядоченное множество точек местности с известными трехмерными координатами и соответствующими закодированными признаками (так называемыми атрибутами, семантической информацией).  ЦММ нужна для аппроксимации (приблизительного описания) местности с ее природными характеристиками и объектами для решения конкретных инженерных задач.

В общем случае ЦММ представляется в виде совокупности тематических слоев, которые составляют графическую часть  ГИС (геоинформационной системы). Тематические слои, представленные в цифровом виде, являются частными цифровыми моделями, которые, в общем, и составляют общую ЦММ. К этим слоям можно отнести слои рельефа, гидрографии, слои ситуационных особенностей (информация о контурах), слои грунтовых условий, гидрогеологических и других характеристик местности.         

Цифровые модели местности (ЦММ)  делятся на цифровые модели контуров  местности (ЦМК) и цифровые  модели  рельефа (ЦМР). Контуры местности задаются координатами Х и У точек, определяющих положение объектов в плане. Точки, представляющие рельеф, задаются трехмернокоординатами Х, У и Н .

По цифровым моделям местности и полученным на их основе математическим моделям местности (МММ) осуществляется автоматизированное проектирование всех конкурентных вариантов трассы линейных сооружений. Основы САПР будут  даны выпускающей кафедрой.

         С точки зрения проектирования сооружений самыми важными информационными слоями ЦММ являются цифровые  слои  рельефа и геологического строения. 

1. 1.     Цифровые модели

         После получения топографического плана традиционным способом или на компьютере стоит задача получения ЦММ тем или иным способом.

В настоящее время разработаны очень эффективные дигитайзеры , которые позволяют автоматически или полуавтоматически регистрировать информацию (то есть снимать с карты или плана) по заданному шагу.  Можно и вручную набирать данные по сетке и затем вводить массивы с клавиатуры, но это долго и применяется в основном в учебных целях. Дигитайзер – это устройство для ввода в ЭВМ координат точек графического изображения. Он состоит из подключаемого к компьютеру планшета с электронной координатной сеткой и указателя, который перемещается подобно «мыши» по планшету. Курсор указателя совмещают с точкой на планшете, нажимают клавишу ввода, и координаты автоматически вводятся в компьютер в заданной для планшета системе координат. Применяются и сканирующие дигитайзеры, автоматически вводящие координаты по заданному шагу.

 Информация хранится в виде массивов цифровых данных, и формируются они по-разному. В зависимости от того, как формируются массивы данных, различают три группы цифровых моделей местности – регулярные,  нерегулярные  и  статистические.

1. 1.     Регулярные ЦММ (ЦМР) – модели в виде регулярной сетки (чаще всего, сетки квадратов или правильных треугольников). Сторона сетки – заданный шаг, через который  точки размещаются в узлах  этих фигур.

 Для этих точек снимается трехмерная информация (координаты и высоты), которая и формирует массив исходных данных. Массивы исходных данных можно записать так:

      1) одномерный массив   L, m, n, xo, yo ,  в котором  L – шаг сетки, m – число столбцов (точек по горизонтали),   n  -  число строк по вертикали;  хо, уо  -  плановые координаты начальной точки.

       2)Двумерный массив высот точек в узлах сетки:

                                      Н11         Н12          ……..      Н1m

                                         H21         H22         ……….     H2m

                                                …..    ……     …….    …..

                                         Hn1       Hn2          …………     Hnm

         2. Нерегулярные ЦММ   строятся   на  поперечниках  к  магистральному ходу, либо на   структурных линиях рельефа (водоразделах, тальвегах), либо на горизонталях.

Массивы исходных данных для таких моделей, разумеется, представляются в ином виде. Например, при построении цифровой модели по горизонталям, массив записывается в  виде:

         Н1         х11           у11           х12          у12      …….      x1m       у1m

          Н2         х21           у21           х22          у22  ….     x2k      у2k  

                      ….     ….          ….         …          …       …….      ….       ….  

          Нn         хn1           уn1           хn2          уn2      …     xni       уni           

       Здесь  n  - кол-во регистрируемых горизонталей ;  m, k, …, i   -  количество точек на каждой из горизонталей;   Н   - высоты горизонталей;        х, у - плановые координаты точек на горизонталях.  В этом случае не задается  координатный  шаг сетки,  и плановые координаты регистрируются дигитайзером или сканирующим дигитайзером- автоматом через заданный интервал длины по горизонталям.

Моделирование по структурным линиям означает размещение точек на характерных изломах местности. При этом стороны треугольников или других фигур , совпадают с орографическими линиями рельефа или лежат на горизонталях. Чаще всего это система треугольников, которая образует многогранную фигуру, грани которой аппроксимируют эту поверхность. Такая структурная цифровая модель обладает меньшей информационной плотностью точек . Между точками ведется линейная интерполяция высот при решении задач.

1. 2.                Статистические ЦММ  довольно универсальны и нашли широкое применение. При этом массив исходных данных формируется в зависимости от случайного распределения. Чаще всего точки  задаются случайным образом по равномерному закону распределения:

  Массив исходных точек статистической ЦММ представляют в виде:

X1      Y1        H1                   X,Y,H -   координаты точек  статистической

X2      Y2        H2  …………                    модели.

Xn       Yn         Hn

     Формирование ЦММ (в основном, рельефа и геологического строения ) идет быстрее, если топографические материалы получены с помощью автоматической регистрации с применением электронных тахеометров, сканирующих устройств, применяемых в аэросъемках, в наземно-космических съемках. В этом случае исходная информация поступает в электронном виде на магнитных носителях, что позволяет максимально автоматизировать процесс подготовки моделей.

        Рассмотренные  ЦММ -  материалы, предназначенные  для последующей математической обработки.   Их использование предполагает применение определенных математических моделей.

    О математическом моделировании местности

         В инженерной практике обычно решают задачу автоматического определения высот точек местности, уровней грунтовых вод, геологических характеристик  в  точках по оси трассы запроектированных вариантов трассы и на поперечниках. В этом случае математическое моделирование сводится к получению определенной схемы  аппроксимации рельефа, или ,часто, поверхности уровней грунтовых вод для последующей интерполяции данных в нужных точках поверхности. 

         Почти все регулярные и нерегулярные  ЦММ предполагают в последующем линейную интерполяцию высот между смежными точками модели. Наиболее распространенным способом математического представления рельефа является модель, основанная на аппроксимации рельефа многогранной поверхностью с высотными отметками в узлах треугольников.

                                                  n

                                                     ПК 9

                                            m                 k                       

В общем случае топографическая поверхность описывается выражением :

                   Z (или Н) = f ( X, Y )

Эта функция аппроксимации чаще всего представляется многочленом от двух переменных, описывающим искомую плоскость. Хорошую точность аппроксимации дает использование  даже уравнение поверхности первого порядка или уравнение поверхности второго порядка.

         Например, если пикетная точка  ПК9, для которой определяется высота, находится между трех смежных точек ЦММ, то высоту  Z ставят в функциональную зависимость от проектных координат Х и У данной пикетной точки:                  Z = А*Х  +  В*У  + С

         В этом уравнении неизвестны коэффициенты A,В,С  уравнения плоскости, проходящей через исходные точки цифровой модели. Если в такое уравнение подставить известные координаты трех исходных точек цифровой модели, то получим три уравнения, в которых не известны только три коэффициента А,В,С:

                   z1   =   Ах1  +  Ву1  +  С

z2   =   Ах2  +  Ву2  +  С

z3   =   Ах3  +  Ву3  +  С

         Такую систему уравнений можно решить и в матричной форме и другими способами, в результате чего определяют неизвестные коэффициенты исходного уравнения. Подставляя в него проектные координаты Х,У искомой точки трассы, определяют  ее высоту Z .

         Часто используется и уравнение поверхности второго порядка, особенно при использовании статистической ЦММ, когда используется метод «плавающего квадрата» или «плавающего круга», в пределах которого каждый раз строится криволинейная поверхность второго порядка:

                   Z =  

Здесь X,Y – известные проектные координаты точки, высоту которой надо определить.    A,B,C,D,E,F – коэффициенты уравнения аппроксимирующей поверхности 2-го порядка.

Идея «плавающей» аппроксимации – в том, что по трассе дороги от точки к точке перемещается круг или квадрат таким образом, что каждая точка,  высоту которой требуется определить, размещается в его центре.

                                                                       ПК5              ПК6

                            ПК4

ПК3                                                    

Радиус круга или квадрата автоматически устанавливается так, чтобы в их пределы попало не менее 10 точек с известными координатами.  Для каждой точки можно записать уравнение с известными X,Y,Z  и неизвестными коэффициентами.

                             z2   =

          ….   =  …..    …. 

                               zn    =

Таким образом, в полученной системе уравнений , число неизвестных ( 6)  меньше числа уравнений, которых минимум 10.  Такая система уравнений решается «методом наименьших квадратов»  приближенно .  Этот метод МНК предполагает, что сумма квадратов разностей между исходными высотами и вычисленными с помощью многочлена должна быть минимальной.

Здесь Zi  -  известные высоты точек ЦМР,  zi   -   вычисленные по формуле многочлена.  За расчетные  принимаются  те  коэффициенты,  которые соответствуют минимуму этой суммы.  Определив таким образом неизвестные коэффициенты многочлена, вычисляется высота искомой точки – например, пикета ПК4 по формуле криволин.  поверхности 2-го порядка.

Подобные расчеты выполняются по соответствующим подпрограммам , встроенным в систему автоматизированного проектирования.

         В рамках САПР с помощью цифровых и математических моделей решается много инженерных задач : оптимальное трассирование дорог и каналов;  получение продольных профилей по оси различных вариантов трассы; получение поперечных профилей; получение инженерно-геологических разрезов вдоль и поперек трассы; решение  задач вертикальной планировки при проектировании площадей, аэродромов, улиц и другие инженерные задачи.

Оценка точности равноточных измерений и их функций

         Общие представления о погрешностях измерений  были изложены в 1 семестре , также как и представления о критериях оценки точности измерений. Напомню, что речь шла о понятиях истинной погрешности, вероятнейшей погрешности, относительной погрешности:                                            Δ = l – X ,    δ = l – xo ,    f отн .                                                       Критерии оценки точности:    средняя погрешность,   вероятная погрешность, средняя квадратическая погрешность, предельная погрешность :               θ,  r ,  m,   Δпред = 3m ( 2m) .

         Чаще всего, для оценки точности отдельного измерения в теории погрешностей применяется средняя квадратическая погрешность (СКП) предложенная Гауссом.

         1. СКП  одного измерения

m = ,   Δ – истинная погрешность, n – число измерений;

Естественно возникает вопрос: зачем вообще измеряем величину Х, если ее значение известно?

Задачи оценки такой погрешности возникают при испытании новых приборов, разработке новых способов и методов производства измерений.   Например, при испытании прибора для линейных измерений необходимо знать точное значение базиса . При этом  измеряют многократно базисную линию предлагаемым прибором и находят случайные истинные погрешности, для оценки которых в их совокупности применяют формулу Гаусса. Такие исследования позволяют разработать практические рекомендации по применению этого прибора.

         Пример. Исследование нитяного дальномера. Длина линии, измеренная стальной мерной, оказалась равной  D =220,00 м. Та же линия была измерена 6 раз нитяным дальномером. Требуется определить СКП  измерения расстояний нитяным дальномером, приняв за истинное значение длины этой линии результат, полученный стальной лентой  Х = D .  Такое допущение правомерно, так как точность измерения мерной лентой в среднем в 7 раз выше точности нитяного дальномера. Вычитая из всех полученных дальномером величин истинное значение, получим ряд случайных истинных погрешностей. Возведя их в квадрат и суммируя, найдем сумму квадратов случайных истинных погрешностей. Тогда СКП каждого измерения будет равна:

                   m =   = = +- 0, 80 м

Перейдем к относительной погрешности:

                   1/N = m / D = 0,80 / 220,00 =  1 / 275

         К таким же исследованиям можно отнести сравнительный анализ тригонометрического нивелирования с высокоточным геометрическим нивелированием.                                                                                                         Однако, наибольшее распространение получила формула Бесселя, которая  получена из  формулы Гаусса под использование случайных вероятнейших погрешностей:

                   m =   , где δ – вероятнейшая погрешность, дающая отклонение от арифметической средины, а не от истинного значения.             

1. СКП функций измеренных величин

Нередко определяемая величина является функцией измеренных величин. Наиболее простой функциональной зависимостью является выражение:

          1)   Z =  k * x    , где       x – аргумент, полученный непосредственным измерением, k – постоянная величина.                                                  или   mz = k * mz ,  то есть СКП функции произведения постоянной на аргумент равна произведению постоянной на СКП аргумента.

2) СКП функции   Z = x + -  y  .   Измерены х и у .

Для функций этого вида можно получить и доказать, что независимо от того, суммируются или вычитаются аргументы , выражение для СКП такой функции имеет следующий вид:

                      , то есть СКП функций суммы или разности двух аргументов равна корню квадратному из суммы квадратов СКП этих аргументов.

Пример  Горизонтальный угол измерен теодолитом 2Т30. Определить СКП измеренного угла в полуприеме, если СКП отсчета равна 0,5' . Последние цифры в типе прибора указывают на точность взятия отсчета по микроскопу, то есть 30''.

Величина угла определяется как разность двух отсчетов (правая точка минус левая):      β = N2  - N1   , то есть справа имеем разность двух аргументов функции β.  Поэтому можно применить вышеприведенную формулу:           .                                                                                       Поскольку для одного и того же прибора    m1 = m2 = mo= +-0,5'  ,  то       .

Очевидно, что СКП функции суммы или разности двух аргументов, измеренных с одинаковой СКП, в  раз больше  СКП одного аргумента.

При полном приеме измерения горизонтальных углов точность измерения увеличивается. Увидим это в другом примере.

3) СКП функции     Z =

Для функции этого вида получена формула вида

4) СКП функции   Z = k1 * x1 +- k2 * x2+ -k3 * x3+-…..+- kn * xn

В этом случае:

         Вернемся к вопросу оценки точности среднего арифметического

Арифметическая средина хо = [ l ] / n.

Это равенство запишем в виде:            хо =

Видно, что это линейная функция вышеприведенного вида. Обозначим  СКП арифметической средины через М и получим:

Поскольку при равноточных измерениях все измерения одной и той же величины имеют одинаковую погрешность,  выражение примет вид:                                              ,   то есть СКП арифметической средины в корень квадратный из   n  меньше СКП одного измерения.

Пример.  Найти СКП измерения угла теодолитом 2Т30 полным приемом, если СКП отсчета равна  +- 0,5' .   Напишем функции угла для каждого из полуприемов:               β1  =N2 – N1                      ;              β2  =N4 – N3     

Для каждого из этих углов , известно,   mβ = mo , где mo – погрешность отсчета.  Результатом измерения угла полным приемом является,  среднее арифметическое из двух полуприемов. СКП арифметической средины дважды измеренного угла:

         Отсюда видно, что цифра 30 в аббревиатуре ГОСТа для теодолитов означает точность измерения углов полным приемом и эта точность совпадает с погрешностью взятия отсчетов.

         5)  СКП функции общего вида     Z = f(x1, x2, x3, …..xn )

Теоретически получено выражение:

    ,  то есть

СКП функции общего вида равна корню квадратному из суммы  квадратов произведений частных производных по каждому аргументу на СКП соответствующего аргумента.

Пример  Определить величину превышения и ее СКП при тригонометрическом нивелировании, когда  h = d*tgν.  При этом длина линии, равная 100 м, измерена с относительной погрешностью 1/1000, а угол ν , равный 30°, измерен с СКП   mν = +-0,5'/

Найдем  h  = 100 м * tg 30°= 100 * 0,5774 = 57,74 м

СКП определения превышения определится из формулы:

 ,  где          

    Отсюда      =  100м / 1000= 0,1м

Подставим:

Ответ:     h = 57,74м  + - 0,06 м

6) СКП  двойных (повторных) измерений

Иногда приходится решать задачу оценки точности измерений при наличии однородных двойных измерений. Например, при проложении теодолитного хода, когда  попарно измеряются линии в прямом и обратном направлениях, или когда измеряются углы в ходе съемки двумя полуприемами (при круге лево и круге п). К однородным двойным измерениям относятся и  превышения по ходу съемки по двум сторонам рейки.

Метод двойных измерений применяется также при исследовании приборов и инструментов.   В этом случае исследуется ряд однородных двойных измерений, которые выполнены одним прибором и при одинаковых условиях:

l'1 , l''1 ; l'2 , l''2 ; l'3 , l''3  ;   …… ;   l'n ,  l''n .   1,2,3,, …- номер линии.

Определяют разности попарно, которые были бы равны нулю, если бы измерения были сделаны абсолютно точно.Эти разности можно рассматривать, как истинные погрешности, если нет систематической составляю щей. В этом случае:

l'1 - l''1 =   d1    

l'2 - l''2 =   d2        Поскольку рассматриваются разности измеренных

l'3 - l''3 =   d3         величин в формуле погрешности появляется .

…….

l'n -  l''n =  dn          СКП разности двух равноточных измерений

  можно записать так:  md = +-  m1 *  , где m1 – СКП одного измерения .

Для оценки md   с другой стороны подходит формула Гаусса: md =

Из этих формул :                m1 =  

По этой формуле можно оценить точность парных измерений, если ряд содержит только случайные погрешности. Если имеют место систематические погрешности, от них надо избавиться при обработке ряда. Дело в том, что систематические погрешности характеризуются постоянством знака. Поэтому при их наличии в результатах измерений среднее арифметическое из разности парных измерений не будет равно нулю (если систематической составляющей нет, то сумма разностей равна или близка к нулю).Определяют вероятнейшее значение (среднее арифметическое) ряда разностей, что будет являться систематической погрешностью, если его величина существенна  :          do = [d] / n   .

Из каждого значения разности  di  вычитают среднее арифметическое Δdi = di   - do          и  применяют формулу Бесселя в виде:

                            m1  =         ,  то есть

СКП каждого результата двойных измерений равна корню квадратному из суммы квадратов разностей парных измерений при исключенной из них систематической погрешности, деленной на общее число измерений без двух.

Пример  В процессе архитектурных обмеров длина линий измерялась дважды стальной рулеткой. Результаты введены в таблицу. Определить вероятнейшее значение измеренных величин и их СКП.